这两个形容词均有“累的，疲乏的”之意。

weary : 侧重指由于连续不断进行某项活动而造成的疲劳，以致感到厌烦。
tired : 普通用词，泛指因工作紧张，劳动过度，休息不足等而引起的疲乏。