白露洄
6.1
A,B是抛物线X^2=2py上异于顶点的两个动点,过A,B两点作抛物线的切线L1,L2,若L1垂直于 L2于M点,求证(1)AB过定点(2)M在定直线上
答案:y = x^2 /(2p) 求导 y' = x/p 设 A B 坐标为 (a, a^2/2p) , (b, b^2/2p) L1 方程: y - a^2/(2p) = (a/p)(x-a) L2 方程: y - b^2/(2p) = (b/p)(x-b) L1垂直于 L2, 所以 a/p = -p/b ab = -p^2 AB 斜率 (b^2/2p - a^2/2p)/(b-a) = (b+a)/(2p) (注: A B 相异, b = a 始终不成立) AB 方程: y - a^2/(2p) = [(b +a)/(2p)](x-a) 整理 AB 的直线方程: 2py - a^2 = (b+a)(x-a) 2py - a^2 = (b + a)x -ab - a^2 2py = bx + ax - ab 代入 ab = -p^2, 以及 b = -p^2/a 到上式 2py = -(p^2/a)x + ax +p^2 2p(y - p/2) = (a - p^2/a)x 因此 当 y=p/2, x = 0 时候, 不论 a为何值(即不论A在何处), 上式子始终成立 即, AB 必过定点 (0, p/2) ==================== L1 方程: y - a^2/(2p) = (a/p)(x-a) L2 方程: y - b^2/(2p) = (b/p)(x-b) 且 ab = -p^2 整理 L1: 2py - a^2 = 2a(x-a) L2: 2py - b^2 = 2b(x-b) 2py = 2ax -a^2 2py = 2bx - b^2 2ax - a^2 = 2bx - b^2 x = (a+b)/2 2py = 2a(a+b)/2 - a^2 = ab = -p^2 y = -p/2 M 点坐标 x 因为 a b 不同而不同, 但是 y ≡ -p/2 因此 M 点恒在直线 y = -p/2 上